Lösungen zu Algorithmische Graphentheorie

Aufgabe 1: Wir fassen den Permutationsgraphen als Strecken auf, die zwei Parallelen miteinander verbinden. Durchlaufe die Strecken in der durch eine der Parallelen gegebenen Reihenfolge. Färbe jede Strecke v in der kleinsten freien Farbe, d.h. betrachte alle Strecken, die v schneiden, und ermittle die vergebenen Farben. Die kleinste Farbe, die durch die Schnittstrecken nicht vergeben ist, wird v zugeordnet. Die Korrektheit ergibt sich wie folgt. Der obige Algorithmus verwende k Farben. Dann gibt es eine Strecke, die sich mit k − 1 anderen Strecken schneidet, denen alle schon Farben zugeordnet sind. Diese Strecke werde mit sk bezeichnet, und erhalte die Farbe k. Dann muss es eine Strecke sk−1 geben, die links von sk liegt und damit früher gefärbt worden ist, sich mit sk schneidet, und die die Farbe k−1 erhalten hat. Warum wurde sk−1 mit k−1 gefärbt? Weil sich links von sk−1 eine Strecke sk−2 befindet, die sich mit sk−1 schneidet und mit k − 2 gefärbt wurde. Dieses Argument lässt sich bis s1 fortsetzen. Durch die Lage der Strecken folgt, dass s1, . . . , sk−1 alle auch sk schneiden. Daher liegt sk in einer k-Clique, und es sind mindestens k Farben notwendig, um den Graphen zu färben.